关于私生子相关的诉讼，在现实生活中较为常见，主要有以下两种情况及相应的处理方式：
一、确认亲子关系诉讼
在某些情况下，一方可能会否认与私生子存在亲子关系。
这时，另一方若希望明确亲子关系，就可以向法院提起确认亲子关系之诉。
提起这类诉讼时，证据的提供至关重要。
比如，若有出生证明，它能在一定程度上反映孩子出生时的相关情况，是有力的证据之一。
而亲子关系鉴定报告则具有更强的证明力，通过专业的科学鉴定，可以准确判断双方是否存在亲子关系。
法院在接到诉讼后，会对提交的证据进行全面、细致的审查和判断。
一旦鉴定结果清晰表明存在亲子关系，法院会依法予以确认，保障各方的合法权益。
二、抚养费诉讼
私生子与婚生子女享有同等的权利，这是法律明确规定的。
对于不直接抚养私生子的一方，应当承担起支付抚养费的责任。
在此情况下，私生子的监护人会作为法定代理人，向法院起诉要求对方支付抚养费。
起诉时，需要准备一系列相关证据。
孩子的出生证明可以证明孩子的身份信息；对方的身份信息能明确责任主体；生活及教育等费用支出凭证则能具体体现孩子生活和成长的实际需求。
法院在审理时，会综合考虑各种实际情况，包括双方的经济状况、孩子的生活需求等，从而合理判决抚养费的数额和支付方式。

案情回顾:

小朱怀疑自己与私生子小丽存在亲子关系，小胡坚称小朱是小丽生父。小朱否认，小胡向法院提起确认亲子关系之诉，提交出生证明，但小朱不认可。后做亲子关系鉴定，结果表明小朱是生父。此外，小朱一直未支付抚养费，小丽监护人小静起诉要求小朱支付抚养费。

案情分析:

1、在确认亲子关系诉讼中，出生证明虽有一定证明力，但小朱不认可时，亲子关系鉴定报告的证明力更强。法院依据鉴定结果确认小朱与小丽的亲子关系，是符合法律和证据规则的。
2、对于抚养费诉讼，小丽作为私生子与婚生子女享有同等权利，小朱作为生父应承担抚养费支付责任。法院会综合考虑双方经济状况、小丽生活需求等，合理判决抚养费数额及支付方式。