在判定孩子是否为父亲唯一抚养人时，可参考以下几种具体情形：
一、协议约定方面
父母双方经过充分的沟通与协商，达成一致意见后，会签订一份书面协议。
在这份协议中，明确清晰地约定孩子由父亲单独抚养，同时母亲自愿放弃自己的抚养权。
需要注意的是，这份协议必须符合相关规定，不能违反法律法规的强制性要求，也不能对孩子的合法权益造成损害。
比如，协议不能剥夺孩子接受教育、医疗等基本权利，要确保孩子在成长过程中各方面的需求都能得到合理保障。
二、母亲不适宜抚养情况
若母亲存在一些特殊状况，使得她无法正常履行抚养孩子的义务，而父亲有抚养能力且愿意抚养时，父亲可被认定为唯一抚养人。
例如，母亲患有严重疾病，像某些传染性疾病或长期卧床不起的重疾，身体状况极差，无力照顾孩子的日常生活；或者母亲有残疾，生活自理都成问题，更难以承担抚养孩子的责任。
此外，若母亲有虐待、遗弃孩子等严重伤害孩子身心健康的恶劣行为，或者因服刑等客观原因，在较长一段时间内无法履行抚养义务，这种情况下父亲也可成为唯一抚养人。
三、法院判决情形
当父母双方对于孩子的抚养权存在较大争议，无法通过协商解决时，就可以向法院提起诉讼。
法院在审理此类案件时，会综合多方面因素进行考量。
比如孩子的年龄，如果孩子年龄较小，可能更需要母亲的照顾，但如果母亲存在不适合抚养的情况，法院会倾向于父亲抚养；还会考虑孩子的意愿，对于年龄稍大一些的孩子，其自身的意愿也会作为重要参考。
同时，父母双方的抚养能力和抚养条件，如经济收入、居住环境等也是法院判断的关键因素。
若最终法院认定父亲抚养更有利于孩子成长，且母亲确实不适合抚养，就会判决孩子由父亲抚养。

案情回顾:

小朱和小丽离婚，就孩子抚养权产生争议。小朱主张自己是孩子唯一抚养人，理由是双方曾签协议小丽放弃抚养权，且小丽患有严重疾病无力照顾孩子。小丽则称协议无效且自己病会治好能抚养。双方诉至法院。

案情分析:

1、关于协议约定，若协议符合规定未损害孩子权益，明确小丽放弃抚养权，从协议角度小朱主张有一定合理性。
2、母亲不适宜抚养方面，小丽患病若确实无力照顾孩子日常，小朱抚养更有利于孩子生活。
3、法院判决时，会综合孩子年龄、意愿以及双方抚养能力条件等因素，若小朱抚养更有利且小丽不适合，法院可能判小朱为唯一抚养人。