关于对遗嘱存在质疑时的举证责任分配问题，需要依据不同情况进行具体分析，以下为您详细阐述：
一、遗嘱的形式要件方面
当涉及遗嘱形式要件是否符合规定时，主张遗嘱无效的一方需要承担举证责任。
例如自书遗嘱，法律要求必须由遗嘱人亲笔书写。
若质疑方认为该自书遗嘱并非遗嘱人亲自书写，那么质疑方就需要提供相应证据来支撑自己的观点。
比如，可以申请专业的笔迹鉴定，通过科学的鉴定方法和流程，对比遗嘱笔迹与遗嘱人其他已知的真实笔迹，得出鉴定结论作为证据。
此外，若有相关见证人的证言，能证明遗嘱书写过程存在异常，也可作为辅助证据。
二、遗嘱人的行为能力方面
若质疑遗嘱人在立遗嘱时不具备完全民事行为能力，质疑方需承担举证责任。
比如，质疑方可以提供遗嘱人当时患有严重精神疾病的诊断证明，该证明需由具备专业资质的医疗机构出具，详细记录病情、诊断时间等关键信息。
同时，相关证人证言也很重要，如遗嘱人身边的亲属、朋友、医护人员等，他们能描述遗嘱人当时的精神状态、行为表现等情况。
三、遗嘱是否受胁迫、欺诈等方面
主张存在胁迫、欺诈等影响遗嘱真实性情形的一方，要承担举证责任。
例如，提供胁迫时的录音录像，清晰记录胁迫行为的发生过程、参与人员等。
知情人的证言也不可或缺，知情人需详细说明所了解到的胁迫、欺诈的具体情况。
总之，一般是对遗嘱有质疑并主张遗嘱无效的一方承担相应的举证责任。

案情回顾:

小朱去世后，其自书遗嘱指定财产由小李继承，小胡对此表示质疑，认为遗嘱非小朱亲笔书写且小朱立遗嘱时受胁迫、无行为能力，双方就遗嘱有效性产生争议。

案情分析:

1、关于遗嘱形式要件，小胡主张遗嘱非小朱亲笔书写，需承担举证责任，可申请笔迹鉴定或提供见证遗嘱书写异常的证言。
2、针对遗嘱人的行为能力，小胡若质疑小朱立遗嘱时无行为能力，需提供专业医疗机构的诊断证明及相关证人证言。
3、对于遗嘱是否受胁迫等，小胡主张存在胁迫情形，要承担举证责任，可提供胁迫时录音录像及知情人证言。