遗嘱执行顺序通常遵循以下步骤：
一、确定遗嘱的有效性
遗嘱的有效性是遗嘱执行的基础。
首先，要查看遗嘱是否符合法定形式，比如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名并注明日期；代书遗嘱要有两个以上见证人在场见证等。
同时，还得确认遗嘱人立遗嘱时具备完全民事行为能力，即能够清晰地认识自己行为的意义和后果。
而且，遗嘱必须是其真实意思表示，不存在受欺诈、胁迫等情况。
只有满足这些条件，遗嘱才具有法律效力。
二、确定遗嘱执行人
遗嘱人可以在遗嘱中明确指定遗嘱执行人。
若遗嘱中未指定，全体法定继承人可推选合适的人选担任。
若推选不成，就由法院根据具体情况指定。
遗嘱执行人需具备一定的管理和执行能力，以确保遗嘱执行过程的公正、有序。
三、遗嘱的公示和通知
遗嘱执行人要向所有法定继承人、受遗赠人以及其他相关人员公示遗嘱内容，让他们了解遗嘱的具体安排。
同时，通知他们按照规定的时间和方式参与遗嘱执行过程，保障他们的知情权和参与权。
四、遗产的清理和保管
对遗产进行全面清查、登记，详细制作遗产清单，包括动产、不动产等各类财产。
并采取妥善措施保管遗产，防止遗产在执行过程中散失、损毁或被非法侵占。
五、债务清偿
先依法清偿被继承人应当缴纳的税款和债务，确保国家和债权人的合法权益。
六、遗产分配
最后，按照遗嘱的具体内容，将遗产准确分配给相应的继承人或受遗赠人。

案情回顾:

小朱去世后留下一份自书遗嘱，但小静质疑遗嘱有效性，称小朱立遗嘱时可能意识不清。此外，遗嘱未指定执行人，小胡和小丽就执行人选产生分歧。在公示遗嘱、清理遗产、清偿债务及分配遗产环节也出现诸多争议。

案情分析:

1、关于遗嘱有效性，需核实小朱立遗嘱时是否具备完全民事行为能力，若无法清晰认知行为意义和后果，遗嘱可能无效。
2、对于遗嘱执行人，若遗嘱未指定，全体法定继承人应推选，推选不成由法院指定。
3、公示和通知环节要确保相关人员知情权和参与权。
4、遗产清理和保管要全面细致，防止遗产受损。
5、债务清偿要依法进行。
6、遗产分配需严格按遗嘱内容执行。