遗嘱见证人在遗嘱相关事务中需要承担特定的法律责任，具体内容如下：
一、真实性保证责任
遗嘱见证人的首要责任是保证遗嘱内容真实反映遗嘱人的意愿。
在见证过程中，需密切关注遗嘱人订立遗嘱时的状态，包括其精神状况、是否受到胁迫等。
比如，若遗嘱人在神志不清的情况下订立遗嘱，而见证人却未察觉并予以见证，这就违背了真实性保证责任。
一旦被证实遗嘱内容并非遗嘱人真实意思表示，该遗嘱极有可能被认定无效。
此时，见证人需为自己的不当见证行为承担相应法律后果，可能面临民事赔偿等责任。
二、合法性审查责任
见证人要对遗嘱的形式和内容合法性进行审查。
在形式方面，需确认遗嘱是否符合法定程序，如自书遗嘱是否由遗嘱人亲笔书写、签名并注明日期等。
内容上，要查看是否存在违反法律强制性规定的条款，像剥夺缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人的继承权等情况。
若因见证人未尽到合法性审查责任，致使遗嘱无效，其可能要承担相应的法律责任。
三、出庭作证责任
在遗嘱纠纷诉讼中，见证人有义务出庭。
需如实陈述见证过程和相关情况，接受法庭询问。
若故意作伪证，将承担伪证的法律责任，可能会被处以罚款、拘留。
情节严重构成犯罪的，还将面临刑事处罚。

案情回顾:

小朱立下遗嘱，小静作为见证人。但小朱当时神志不清，小静未察觉仍予以见证。之后小胡质疑遗嘱真实性引发纠纷，且该遗嘱存在形式不合法问题，小静在诉讼中还作伪证。

案情分析:

1、小静未关注到小朱神志不清状态，违背真实性保证责任，若遗嘱被认定非小朱真实意思表示而无效，小静可能要承担民事赔偿责任。
2、小静未对遗嘱形式合法性进行审查，导致遗嘱存在形式问题而可能无效，其需为未尽合法性审查责任承担相应法律后果。
3、小静在诉讼中作伪证，将承担伪证法律责任，可能被罚款、拘留，情节严重构成犯罪的，还会面临刑事处罚。