以下是关于继承人放弃继承债务后责任承担的详细分析：
一、对被继承人债务的责任
我国法律明确规定，继承人若放弃继承，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可不承担偿还责任。
这是因为放弃继承意味着切断了与被继承人财产及债务的法律关联，继承人的个人财产不受被继承人债务的牵连。
二、放弃继承的形式要求
放弃继承通常应以书面形式作出表示。
这是为了确保放弃继承的意思表示清晰、明确且具有可查证性。
不过，在遗产处理前或诉讼过程中，继承人向人民法院以口头方式表示放弃继承的，若有其他充分证据证明，如证人证言、相关录音录像等，也应认定其有效。
这样的规定兼顾了实际情况，保障了继承人真实意愿的体现。
三、放弃后的其他影响
继承人放弃继承后，就会丧失对被继承人遗产的相关权益。
后续遗产将按照法定继承顺序由其他继承人继承，或者按照遗嘱等其他合法方式进行分配。
若没有遗嘱，遗产将由第一顺序继承人（配偶、子女、父母）继承，没有第一顺序继承人的，由第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。

案情回顾:

小朱的父亲生前经营生意欠下巨额债务。父亲去世后，小朱明确表示放弃继承父亲的遗产。但债权人认为小朱应偿还债务，双方产生争议，且小朱是以口头方式向法院表示放弃继承的，无书面材料。

案情分析:

1、根据法律规定，小朱放弃继承，就切断了与父亲财产及债务的法律关联，其个人财产不受牵连，无需用自己财产偿还父亲生前债务。
2、小朱虽无书面放弃继承材料，但在诉讼过程中向法院口头表示放弃，若有其他充分证据证明，如证人证言等，其放弃继承的表示应认定有效，小朱丧失对遗产的相关权益，遗产按法定顺序由其他继承人继承。