关于购房支付定金后能否退还的问题，需视具体情况而定。以下是可能出现的几种情况及其相应处理方式：首先，如果购房者毫无缘由地自行放弃购买，那么他先前所支付的定金将无法得到退还；其次，当卖方未能严格遵守合同约定或未充分履行合同时，导致合同目的无法顺利实现时，卖方需要向买方双倍返还定金。在适用定金罚则方面，我们遵循如下规则：第一，如果支付定金的一方存在根本性违约行为，那么定金将无法得到返还；第二，如果接受定金的一方存在根本性违约行为，那么他必须向对方双倍返还定金；第三，如果双方都按照约定全面履行了合同义务，那么定金可以用来抵扣价款或者被收回。综合以上分析，购房者支付定金后能否退还，取决于究竟是买方违约还是卖方违约。如果是买方违约，定金将无法退还；反之，如果是卖方违约，定金则可退还。此外，定金罚则的适用还受到一些原则性的限制，例如当事人履行合同的程度以及违约方的身份等因素都会对定金的处理产生影响。

《中华人民共和国民法典》第五百八十七条债务人履行债务的，定金应当抵作价款或者收回。给付定金的一方不履行债务或者履行债务不符合约定，致使不能实现合同目的的，无权请求返还定金；收受定金的一方不履行债务或者履行债务不符合约定，致使不能实现合同目的的，应当双倍返还定金。