依据我国《中华人民共和国刑法》的相关规定，倘若自然人所欠下的信用卡账单金额数值较为庞大且逾期未偿达到法定的还款期限，此种行为便可能涉嫌触犯“恶意透支罪”。
若该类行为已分别构成刑法上的“数额较大”或“情节严重”的情形，则可能面临着五年以下有期徒刑或拘役的刑事处罚，同时还需承担二万元人民币至二十万元人民币不等的罚金。
然而，在判断是否构成犯罪以及量刑轻重时，仍需结合具体案情进行综合分析，其中涉及到的关键要素包括透支金额大小、当事人是否具有还款意愿及实际履行能力、是否存在逃避债务的不当行为等等。

《中华人民共和国刑法》第一百九十六条
有下列情形之一，进行信用卡诈骗活动，数额较大的，处五年以下有期徒刑或者拘役，并处二万元以上二十万元以下罚金；
数额巨大或者有其他严重情节的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处五万元以上五十万元以下罚金；
数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处五万元以上五十万元以下罚金或者没收财产：
(一)使用伪造的信用卡，或者使用以虚假的身份证明骗领的信用卡的；
(二)使用作废的信用卡的；
(三)冒用他人信用卡的；
(四)恶意透支的。
前款所称恶意透支，是指持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或者规定期限透支，并且经发卡银行催收后仍不归还的行为。
盗窃信用卡并使用的，依照本法第二百六十四条的规定定罪处罚。