对非法储存危险物质罪，应予追究的刑事责任是，一般对行为人处三年以上十年以下有期徒刑；情节严重的，则对行为人处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本罪在客观方面表现为非法买卖、运输核材料的行为。单位犯本罪的，实行双罚制。

《刑法》第一百二十五条
【非法制造、买卖、运输、邮寄、储存枪支、弹药、爆炸物罪】非法制造、买卖、运输、邮寄、储存枪支、弹药、爆炸物的，处三年以上十年以下有期徒刑;情节严重的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
【非法制造、买卖、运输、储存危险物质罪】非法制造、买卖、运输、储存毒害性、放射性、传染病病原体等物质，危害公共安全的，依照前款的规定处罚。
单位犯前两款罪的，对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员，依照第一款的规定处罚。