在通常情况下，在实施监视居住的过程中，犯罪嫌疑人和被告人应该尽可能地留在执行该项措施的场所内。
这是一种针对刑事案件适用的强制性措施，被采取此种强制措施的人，除非经过相关执行机构的明确许可，否则他们不得随意离开监管之处。
然而，倘若由于复杂的医疗需求或家庭发生了重大变故等正当且必要的原因，确实需要离开原居之所，那么他们必须事先获得执行机构的正式批准。
若有人违反上述规定，私自离境，情节严重者，其强制措施可能会被改变，例如由监视居住转变为逮捕。
总而言之，在实施监视居住的过程中，能否离开原居之所，主要取决于是否得到了执行机构的正式批准，以及是否存在合法且必要的理由。