依据我们国家现行的相关法律法规明文规定，在犯罪嫌疑人身陷囹圄，被当地公安部门依法实施拘留之后，较一般的情况而言，他们的近亲属将享有得到告知的权利，这主要涉及到应当在得知该消息后的24个小时内被告知。
然而在某些特定的情景中，由于确有难以克服的快递路径信息等实际困难的存在，或者涉嫌的违法行为牵扯到了危害国家安全乃至恐怖活动的层面，所以通知可能会影响到案件调查工作的推进。
在这种情况下，公安部门也有可能不能在第一时间通知到家属。
同时，如果犯罪嫌疑人员已经遭受了逮捕，那么在除了考虑到确实无法进行通知的情况之外，公安部门还必须在逮捕后的24小时之内，尽全力通知到被逮捕人员的家属。
这是因为这些法律规定确保了家属有权知道犯罪嫌疑人所面临的法律义务和责任，以便他们能够更好地给予支持和帮助，同时也意味着公安部门必须在规定的时间范围内向家属提供所涉事实的详细信息。
需要特别强调的是，当“有碍侦查”的情况得以消除时，公安部门应该立即通知被拘留者的家属。
总的来说，在大多数情况下，家属将在24小时内得到通知，但是在法律规定的特殊情况下，这个时间可能会有所延长。