通常情形下，刑事拘留的最长期限为三十七日。
然而，当拘留期限超过这个时间限制时，有两种情况有可能发生：
首先，如果检察机关批准逮捕，那么案件将继续进行侦查工作；
其次，倘若检察机关不批准逮捕，则公安机关必须在接到相关通知后立即释放当事人，并及时通知检察机关关于执行情况的相关信息。
对于前者，被拘留人员将会转变为逮捕状态，持续处在被羁押期间，案件将按照刑事司法程序逐步推进。
而对于后者，公安机关应该在释放被拘留者之后，如果需要继续进行侦查任务，并且满足取保候审或者监视居住的条件，就可以依法对强制措施进行相应的调整。
总而言之，拘留期限超过三十七日，需要依据具体的法律程序以及决定来确定接下来的处理方式。