在刑事案件中，被捕人员所面临的刑事拘留期是从公安机关正式向其宣布刑事拘留的那一刻起算的。
通常来说，如果公安机关认为有必要对某位被拘留者进行逮捕，那么他们应该在拘留期限结束前的三天内，向当地人民检察院提交申请，请求对该申请进行审查和批准。
然而，在某些特殊情况下，公安机关申请审查和批准的期限可以适当延长，最多可延长一到四天。
对于那些流窜作案、多次作案以及团伙作案的重大嫌疑犯人而言，公安机关依法申请审查和批准的期限也可以相应地延长至三十天。
而人民检察院则应在收到公安机关提交的批准逮捕申请书后的七日内，依法做出批准逮捕或不批准逮捕的决定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。