依照我国现行之《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十五条之规定，公安机关在接到报案或接获其它关于犯罪行为之相关信息后应立即展开立案调查，通过搜集、整理及筛选证据来揭示违犯事件真相。
涉及到交通肇事罪这一类案件时，若公安机关经审查认定涉案人员确有犯罪事实且其行为已达到逮捕标准，则可依据法定程序对其实施逮捕措施。
然而，逮捕行动通常需遵循特定的法律程序并以充足的证据为支撑，至于具体的执行时间，虽然法律对此有所规定，但实际操作中往往会因案件的具体情况与侦查工作的推进程度而有所差异。
因此，交通肇事罪立案后抓捕犯罪嫌疑人的时间节点主要取决于案件的复杂性以及侦查工作的进展状况，法律并未设定严格的时间限制。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十五条
公安机关对已经立案的刑事案件，应当进行侦查，收集、调取犯罪嫌疑人有罪或者无罪、罪轻或者罪重的证据材料。对现行犯或者重大嫌疑分子可以依法先行拘留，对符合逮捕条件的犯罪嫌疑人，应当依法逮捕。