在刑事拘留期限为37天之后，仍然存在着对犯罪嫌疑人采取取保候审措施的可能性。
此种情形的发生与否，主要取决于每个个案所涉及的具体情况，例如犯罪嫌疑人的社会危害性是否有所减轻，以及相关证据是否已经得到了充分且确凿的固定等等。
若案件的实际情况出现了变化，或者新发现的证据显示犯罪嫌疑人具备了取保候审的资格条件，那么便可提出相应的申请，并且有望获得批准。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。