在警察因醉酒驾驶行为而被依法刑事拘留之后，其获得取保候审的途径主要是由其近亲家属或辩护律师向有关执法部门提交相关取保候审的申请。
然后，执法部门会基于案情的具体内容、犯罪嫌疑人人身安全的潜在威胁等多方面的因素进行综合评估和权衡，从而作出是否许可取保候审的最终决策。
一般情况下，若犯罪性质相对轻微、进一步犯罪的风险极低，那么获得取保候审批准的可能性将相对较大。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。