在涉及到刑事诉讼程序中的刑事拘留时期，向执法部门申请办理取保候审手续的过程通常可以分为以下几个环节：首先，犯罪嫌疑人和被告人以及他们的法定代理人、近亲属或辩护人必须按照规定向有关负责处置该案件的办案机关提交书面申请。
其次，当办案机关收到上述申请时，将依照既定时间对其进行严格的审查。
若经审查认为符合取保候审的条件，那么办案机关将会依法要求犯罪嫌疑人和被告人提供担保人或者缴纳相应的保证金。
在此过程中，担保人需满足特定的条件，例如与此案没有任何关联、具有足够的能力来履行担保义务等等。
而保证金的具体金额则应根据案件的性质、情节及社会危害程度等多方面因素综合考虑并予以确定。
一旦取保候审申请获得批准，被取保候审者就必须严格遵守相关规定，如未经执行机关许可不得擅自离开所居住的城市、县区；
若住址、工作单位及联系方式有所变更，须在二十四小时之内向执行机关汇报等。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。