关于在接到刑事拘留通知后第一时间提出取保候审申请的适宜时机，通常建议在司法程序的37天期限之内进行。
在这一时间段内，公安侦查机关将会向检察机关递交请求，以求获得批准逮捕的决定。
在此过程中，如若能够及时提交取保候审的申请，那么成功获取该项权利的可能性将较高。
然而，值得注意的是，取得取保候审并非仅依赖于最佳时机的选择，更重要的还需考虑到案件的具体情况以及犯罪嫌疑人的个人状况是否符合相关法规法规的要求。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。