在家庭成员遭受刑事拘留之后，他们的亲属可以依照如下步骤申请取保候审的许可：首先，应当及时地向相关执法机构进行咨询，了解当事人所涉及的罪名以及案情的相关详细信息，同时提交一份正式的书面申请来请求取保候审。
在这个过程中，应该竭尽全力去寻找符合条件的保证人或是缴纳足够金额的保证金作为担保。
接着，在申请书中需明确阐述犯罪嫌疑人在获得取保候审的许可之后，绝不会有任何逃避侦查、起诉和审判的行为，也不会对证人的作证产生任何干扰，更不会有毁灭、伪造证据或串供等违法行为。
最后，耐心等待执法机构对申请的审批结果即可。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。