依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条之规定，犯罪嫌疑人和被告人在特殊情形下有权向相关机构提出取保候审的申请。这些情形涵盖了可能面对的刑罚程度、自身健康状态、孕期或哺乳期状况以及已羁押期间的长短等等。因此，若某位犯罪嫌疑人体现出上述任何一种情况，他们便有资格提出取保候审的申请。然而，在刑拘之后是否能够获得取保候审的批准，这需要依照实际情况来谨慎评估其是否符合取保候审的各项要求。倘若符合相关标准，那么便可提出取保候审的申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。