依据我国现行《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的明文规定，对于犯罪嫌疑人和被告人而言，若其满足特定的条件，则可由人民法院、人民检察院以及公安机关依法作出取保候审的决定，这是一项重要的强制性措施。然而，此条款并未明确指出在罪犯已被判刑并开始服刑之后，是否仍有资格申请取保候审。然而，根据本法条款（一）至（四）的详细规定，倘若犯罪嫌疑人和被告人能够满足其中任何一个条件，便有机会获得取保候审。然而，当一名罪犯已经被判定有罪并开始服刑时，他们可能并不符合上述取保候审的条件，因为取保候审通常是在审判之前或审判过程中为保障犯罪嫌疑人和被告人的合法权益所采取的必要措施。然而，如果在服刑期间发生了上述条款中所述的特殊情况，如可能判处的刑期有所减轻，或者符合其他相关条件，那么从理论上讲，他们依然有可能获得取保候审。总的来说，关于罪犯在服刑之后是否还有资格申请取保候审，需要结合实际情况与法律规定进行深入分析。若罪犯不符合取保候审的条件，那么在大多数情况下，他们将无法获得取保候审。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。