被依法予以刑事拘留之后，是否有资格申请取保候审，这完全取决于调查对象所涉及的犯罪情节严重程度、对社会造成的不良影响以及是否满足法律规定的相关条件。大部分情况下，公安部门应当在拘留行为发生之日起的三个工作日内，向检察机关提出批准逮捕的请求，但在特殊情况下，这个期限最多可以延长到四天。对于那些散播作案、屡次作案或者是以团伙为单位进行大规模作案的重大嫌疑分子，其批准逮捕的期限则可以延长到三十天。在此期间，也就是审查逮捕阶段，公安机关也允许嫌疑人及其家属提出取保候审的申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。