在涉嫌犯罪被采取刑事拘留措施之后，能否获得取保候审的批准往往取决于特定案件的诸多因素，其中包括犯罪嫌疑人可能对社会构成的威胁程度，以及其所犯下的罪行的严重性和恶劣程度等多方面因素。一般而言，依据我国相关法律规定，刑事拘留的最长期限可达37日。在此期间内，若犯罪嫌疑人满足了取保候审的相关条件，例如不会对社会造成危害，便有资格申请取保候审。然而，值得注意的是，这并非一项自动的程序，而是需要由犯罪嫌疑人本人或者其亲属、辩护律师向负责处理该案件的司法机构提交书面申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。