根据我国相关法律法规及司法解释规定，公安机关对涉嫌犯罪人员实施刑事拘留的最长期限原则上是三个工作日。如果案件情节较为复杂或者拘留期已经期满仍无法完结案件的，经过批准，拘留期限可以适当延长，最多可延长至七个工作日。对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑人，其拘留期限则有可能被延长至三十个工作日。
然而，关于取保候审的问题，虽然法律并没有明确规定必须在拘留多少天之后才能提出申请，但是通常需要在侦查阶段，也就是在拘留期间或者逮捕之前提出。
至于申请能否得到批准，则取决于办案机关对案件具体情况的判断和处理。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。