在您的亲人遭遇采取取保候审措施之时，家庭成员应遵循以下严谨而有序的处理流程：
首先，务必要对相关条件进行详尽核实：包括但不限于了解您的亲人是否满足了获得取保候审的基本条件，例如其行为并非严重犯罪，亦无明显逃脱侦查之嫌等等。
其次，请提供充足的担保：通常情况下，我们需要寻找合格的保证人或者交付保证金，以确保您的亲人能够按时出席所有被传唤的场合。接下来，您的亲人必须严格遵守取保候审期间的各项规定：例如，不得擅自离开居住地，并须定期向有关部门报告自己的行踪等等。
最后，如果您认为有必要，可以考虑寻求法律援助：通过聘请专业律师为您提供法律咨询以及其他可能的协助。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条：人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。