倘若保险公司对您所遭受的损失所赔付的款项并不满足您的期待或者与实际情况不符，您有权依照以下具体步骤向该保险公司提出法律诉讼请求：
首先，您需要采取行动，收集充足的证据以支持您的诉求，例如医疗记录、事故报告等资讯；
其次，撰写一份准确而详尽的诉状，详细阐述您的经济损失、被告方（即保险公司）所承担责任的部分以及您所主张的赔偿数额；
接下来是对诉状及所有相关证据进行整理与提交，这个过程通常需向具有司法管辖权的法院进行咨询，目前最常见的情况是将诉状递交至保险公司所在地或事故发生地的基层人民法院；
然后，耐心等待法院的回应，在收到您的诉状之后，法院将会通知保险公司并要求其做出相应的答辩；
最后，如果法院安排了公开听证会，您需要亲自出席并提供有力的证据以支持您的索赔主张。
在听证会结束后，法院可能会尝试通过调解方式解决双方的争议问题，若调解失败，则法院将依法作出最终裁决。

《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十三条
人民法院审理民事案件，根据当事人自愿的原则，在事实清楚的基础上，分清是非，进行调解。