当涉及到保险公司理赔方面出现的争议时，若被保险人或受益人为维护自身权益，可遵循以下程序向相关法律机构进行申诉：
首先，应确保在诉讼时效期内提出申诉（针对民事案件，时效期限通常为三年，该期限从相关人员明确知晓自身权益受侵害及责任人之日起开始算）；
其次，向具有适当权限的司法机关提交申诉申请（如因合同纠纷引发的诉讼事宜，应向被告户籍所在地或合同执行场所所在的司法机关提出申请）；
最后，按照被告人数量向司法机关提交相应数量的诉状，诉状中需清晰描述出下列四项重要内容：
（1）申诉申请人的个人信息（包括姓名、性别、出生年份、民族、职业、所属机构、居住地址、联系方式等）；
（2）被告人的相关信息（包括保险公司的名称、注册地址及其法定代表人或主要负责人的姓名、职位、联系方式等）；
（3）申诉请求及申诉所依据的事实与理由（例如要求重新理赔或补充赔偿等，事实与理由部分应根据实际情况详细填写）；
（4）提供相关证据及证据来源，同时注明证人的姓名和居住地址（证据类型包括但不限于视听资料、电子数据、证人证言、当事人陈述、书证、物证、鉴定意见、勘验笔录等）。

《民法典》第一百八十八条
向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。
法律另有规定的，依照其规定。
诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。
法律另有规定的，依照其规定。
但是，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。