倘若保险公司拒绝支付保险赔偿金，消费者有权利向法院提起诉讼，并且在诉求中请求保险公司自行承担相关利息。
然而，最终是否能够得到法院的支持，取决于法官对案件的审理和裁决。一般来说，当保险公司原本应该承担赔付责任或者在投保过程中，投保人未存在严重的投机取巧行为之时，如果保险公司拒绝支付全部、部分或是拖延支付赔偿金，那么此时投保人有权寻求法律援助，聘请律师进行上诉，并提出相应的利息索赔。
此外，若保险公司拒绝支付赔偿金是基于合理的理由，即被保险人所遭遇的风险事件并不符合保险合同中的理赔条件，那么保险公司将无需支付任何利息，甚至可能连已经缴纳的保费都无法退还。

《中华人民共和国保险法》第六十四条保险人应当按照保险合同的约定履行赔偿义务；第三十四条保险人不得因保险标的的价值变更或者被保险人的保险单投保时被保险人故意或者重大过失未如实披露情况而拒绝承保或者不按照约定承担赔偿责任。《中华人民共和国消费者权益保护法》第十一条消费者受到侵害，有权要求侵害者承担侵害责任；第二十三条消费者权益保护组织及其工作人员违法行为的，由有关部门依法进行处理。