1.确定责任主体：手筋断裂的赔偿责任主体需明确。
若因工作原因导致，属于工伤范畴，赔偿责任由用人单位承担；
若是第三人侵权造成，那么第三人需承担赔偿责任。
例如，在工作时因操作机器不当导致手筋断裂，一般认定为工伤；
若在工作场所外被他人打伤致手筋断裂，则第三人是责任主体。
2.工伤赔偿流程：申请工伤认定，之后进行劳动能力鉴定。
再依据《工伤保险条例》计算赔偿金额，包含医疗费（按实际花费报销）、停工留薪期工资、伤残津贴等多项费用。
3.第三人侵权赔偿：向侵权人主张侵权赔偿，赔偿范围涉及医疗费、护理费、交通费等实际产生的损失。
4.证据收集：要收集相关证据，像劳动合同、医疗诊断证明以及能证明侵权行为的证据等，为赔偿请求提供有力支持。
5.解决途径：赔偿事宜优先协商解决，若协商无果，工伤赔偿可申请劳动仲裁，第三人侵权赔偿可向法院提起诉讼。

案情回顾:

小朱在工作时操作机器，因机器故障导致手筋断裂。小朱认为是工伤，要求用人单位赔偿；用人单位却称是小朱操作不当，不属于工伤。小朱还怀疑有第三人破坏机器，想追究第三人责任，双方就赔偿责任主体产生争议。

案情分析:

1、若经调查，手筋断裂确因工作原因，如机器老化等非小朱自身重大过错导致，应认定为工伤，用人单位需承担赔偿责任。
2、若有证据证明是第三人破坏机器导致事故，第三人应承担侵权赔偿责任。
3、小朱应收集劳动合同、医疗诊断证明等证据，按工伤赔偿流程申请认定和鉴定，或向侵权人主张赔偿。
4、先协商解决赔偿事宜，协商不成，工伤赔偿申请劳动仲裁，侵权赔偿向法院起诉。