在遭遇交通事故且涉嫌实施交通肇事罪行为时，可按以下步骤提起对其追究刑事责任的请求：
首先，现场处理至关重要。事故发生之后，务必第一时间拨打报警电话，同时妥善保护现场，静待警方抵达现场展开处理工作。
其次，调查取证是关键环节。警方将对事故现场进行详细勘察，搜集各类证据，例如现场照片、监控录像、车辆检验报告以及事故责任认定书等等。接下来，伤情鉴定不容忽视。对于事故中受伤的人员，必须进行伤情鉴定以明确伤势程度。
然后，责任认定是判定肇事司机责任的依据。
根据事故责任认定书，便能确定肇事司机所负的法律责任。
再者，若肇事司机的行为被认定为涉嫌构成交通肇事罪，那么公安机关将会把此案移交至检察机关。检察机关在对案件进行全面审查后，若确认构成犯罪，则会向人民法院提出公诉。
最后，法庭审理是决定性的阶段。人民法院在收到案件后，将依法进行审理，其中包括开庭审理、举证质证和辩论等多个环节。而判决执行则是整个过程的收尾部分。法院会根据审理结果做出判决，若判决肇事司机有罪，则需执行相应的刑罚。

《中华人民共和国刑法》第一百三十三条
违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。
《中华人民共和国道路交通安全法》第七十三条
公安机关交通管理部门应当交通事故现场勘验、检查、调查情况和有关的检验、鉴定结论，及时制作交通事故认定书，作为处理交通事故的证据。交通事故认定书应当载明交通事故的基本事实、成因和当事人的责任，并送达当事人。
《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十六条
人民检察院认为犯罪嫌疑人的犯罪事实已经查清，证据确实、充分，依法应当追究刑事责任的，应当作出起诉决定，按照审判管辖的规定，向人民法院提起公诉，并将案卷材料、证据移送人民法院。
犯罪嫌疑人认罪认罚的，人民检察院应当就主刑、附加刑、是否适用缓刑等提出量刑建议，并随案移送认罪认罚具结书等材料。