在此情况下，被判定无需承担抚养义务的当事人未能遵守承诺且拒绝支付相关费用时，当事人享有下列途径来寻求法律援助，并争取自身权益:
首先，应优先考虑与当事人进行沟通和协商。
关于子女抚养费支付事宜的讨论和解决应建立在双方尊重和理解的基础之上，通过协商的方式寻求共识。
具体协商内容主要围绕当事人需支付的抚养费额度、支付时间以及支付方式这几个关键议题展开。
其次，如若未能通过上述方式得到妥善处理，还可以选择向当地法院提起诉讼。
当地法院将会依据当事人双方的经济能力及当地生活水准等客观事实，公正地决定出对孩子的健康发展最有利的抚养费数额，同时也将针对抚养费的支付时间和方式做出明确的裁决。
最后，在当事人有能力但未尽到支付义务的情况下，另一方可向当地法院提交强制执行请求。

《民法典》第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；
协议不成的，由人民法院判决。
前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。