按照我国目前实施的相关法律和规定要求，当存款人不幸离世之后，其合法继承人需以证明自身身份以及享有提取该笔储蓄存款的权利为目的，前往当地的公证机构（县市级人民法院所在地区未设立公证机构的情况下，可以依次向上级单位提交申请）办理继承权证明文件。
在这份证明书完成并生效后，各家金融机构将凭借这一文件办理相应的财产转移手续或者支付款项的操作。
然而，如果由于继承权问题而产生纠纷争议，此类状态则需要交由相关的人民法院进行裁判判定。
在此情形下，银行将会依据人民法院所作出的判决、裁定或者和解协议来执行财产的转移或者支付事务。

《公证法》第二十五条
自然人、法人或者其他组织申请办理公证，可以向住所地、经常居住地、行为地或者事实发生地的公证机构提出。
申请办理涉及不动产的公证，应当向不动产所在地的公证机构提出。