关于赡养孤寡老人遗产如何进行继承，我们需要遵循以下法律规定：
首先应以遗赠抚养协议的形式实现继承；
其次，若存在有效遗嘱，则遵从遗嘱或遗赠执行；
再者，如果遗赠抚养协议生效，那么将依照协议书的内容进行处理。在第九条中明确规定继承权利的性别平等原则。而第十条则详细阐述了遗产继承的顺位情况，即第一顺位为配偶、子女以及父母，第二顺位则是兄弟姐妹、祖父母及外祖父母。在实际继承过程中，先由第一顺位继承人展开继承，第二顺位继承人则不可参与继承。如无第一顺位继承人，则由第二顺位继承人接手。
另外，此处所提及的子女，不仅包含了合法婚姻关系下生育的孩子，还涵盖了非婚生子、收养孩子以及存在抚养关系的继子女等群体。同样，这里提到的父母也不仅仅指亲生父母，还有养父母及存在抚养关系的继父母。
至于兄妹关系，也包括了同父母的、同父异母或者同母异父的、养兄妹以及有抚养关系的继兄妹等所有类型。

《中华人民共和国老年人权益保障法》第三十一条
国家对经济困难的老年人给予基本生活、医疗、居住或者其他救助。
老年人无劳动能力、无生活来源、无赡养人和扶养人，或者其赡养人和扶养人确无赡养能力或者扶养能力的，由地方各级人民政府依照有关规定给予供养或者救助。
对流浪乞讨、遭受遗弃等生活无着的老年人，由地方各级人民政府依照有关规定给予救助。