当借款人不幸死亡时，担保人的责任承担需要根据具体情况来分析，以下为你详细说明：
一、一般保证责任
在一般保证的情形下，保证人拥有先诉抗辩权。
具体来说，当借款人死亡后，债权人首先应当对借款人的遗产进行处理，通过合法途径来清偿债务。
只有在经过这些程序，对借款人的遗产依法强制执行后，债务仍然未能得到全部履行时，债权人才可以向保证人提出要求，让其承担保证责任。
这种安排是为了保障保证人的合法权益，避免在借款人遗产有足够偿债能力时，保证人过早地承担责任。
二、连带保证责任
若是连带责任保证，债权人拥有更多的选择权。
一方面，债权人可以要求借款人的遗产继承人在其继承遗产的范围内偿还债务。
另一方面，债权人也可以直接要求保证人在其保证范围内承担保证责任。
并且，保证人在承担保证责任后，有权向借款人的遗产继承人在其继承遗产的范围内进行追偿。
总之，担保人承担何种责任，关键取决于担保合同中约定的保证方式，不同的保证方式下，担保人的责任承担存在明显差异。

案情回顾:

小朱向小李借款50万元，小胡作为担保人。借款后小朱不幸死亡，留下部分遗产。小李要求小胡立即偿还借款，小胡认为应先处理小朱遗产再确定自己责任，双方就担保人责任承担产生争议。

案情分析:

1、若为一般保证责任，小胡有先诉抗辩权。小李应先清查评估小朱遗产，如房产、存款等，依法强制执行后债务仍未全部履行，才可要求小胡承担保证责任，这是保障小胡合法权益的安排。
2、若为连带保证责任，小李既可要求小朱遗产继承人在继承范围内偿债，也可直接要求小胡在保证范围内担责，小胡担责后有权向遗产继承人在继承范围内追偿。