若顾客在洗浴过程中不幸受伤，则洗浴中心需负担相应的法律责任，除非该中心能够拿出有效充足的证据来证实其已尽到充分的安全保障义务。
然而，若伤害是由第三方所导致的，那么洗浴中心仍需承担起补充赔偿责任。

《民法典》第一千一百九十八条
宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。因第三人的行为造成他人损害的，由第三人承担侵权责任；经营者、管理者或者组织者未尽到安全保障义务的，承担相应的补充责任。经营者、管理者或者组织者承担补充责任后，可以向第三人追偿。