在因抚养费被起诉期间，是可以争夺抚养权的，下面为你详细分析：
一、法律层面的可行性
抚养费纠纷与抚养权纠纷属于两个相互独立的法律问题。
抚养费诉讼重点在于解决不直接抚养子女的一方应当支付费用的相关事宜，明确支付的标准、方式以及期限等。
例如，根据子女的实际生活需要、当地的生活水平以及支付方的经济能力等来确定抚养费的具体数额。
而抚养权纠纷关注的核心是哪一方直接抚养子女更为合适。
法律并没有规定在进行抚养费诉讼时就不能争夺抚养权。
因为这两个问题的侧重点不同，所依据的法律条款和考量因素也有所差异。
二、实际操作的要点
若要在抚养费被起诉期间争夺抚养权，关键在于提供充足的证据来证明自身具备更有利于子女成长的条件。
一方面，要展现自身的优势。
比如，有稳定且足够的收入，能够为子女提供良好的物质生活保障；拥有良好的居住环境，包括居住空间的安全性、周边配套设施的完善性等；还能给予子女更多的关爱和教育，例如有足够的时间陪伴子女、关注其学习和心理成长等。
另一方面，若能证明对方存在不利于子女成长的情形，如酗酒、吸毒等不良嗜或者患有严重疾病无法正常照顾子女等，这将成为争取抚养权的有力证据。
总之，在抚养费被起诉期间是有权争夺抚养权的，准备好相关证据是支持自身诉求的关键。

案情回顾:

小朱起诉小李支付抚养费，在该抚养费诉讼期间，小李又向法院提出争夺孩子抚养权的诉求，引发争议，即抚养费被起诉期间能否争夺抚养权。

案情分析:

1、从法律层面看，抚养费纠纷与抚养权纠纷相互独立。抚养费诉讼重点在费用支付事宜，抚养权纠纷关注哪方更适合抚养子女，法律未禁止此时争夺抚养权。
2、从实际操作要点看，小李若要争夺抚养权，需提供自身优势证据，如稳定收入、良好居住环境、能陪伴教育子女等，还可证明小朱有不利于子女成长情形。