关于抚养权起诉费用的承担问题，具体情况阐释如下：
一、预交费用
在提起抚养权起诉时，通常需要原告先行预交诉讼费用。
这是诉讼程序中的一个常规操作。
依据《诉讼费用交纳办法》的相关规定，离婚案件每件需交纳50元至300元。
这里需要注意的是，如果涉及到财产分割的情况，还需根据财产总额来确定费用。
当财产总额不超过20万元时，无需另行交纳费用；而一旦财产总额超过20万元，那么超过的部分则需要按照0.5%的比例来交纳费用。
在单纯的抚养权纠纷案件中，一般是按照离婚案件的标准来预交费用。
例如，若不涉及财产分割或者财产总额未超20万，预交费用就在50300元区间。
二、最终承担
当案件审结后，诉讼费用的承担会根据不同情形有所区别。
一般来说，诉讼费用由败诉方来负担，不过若胜诉方自愿承担，也是可以的。
在部分胜诉、部分败诉的情况下，人民法院会根据案件的具体情况，若案件是通过调解结案的，诉讼费用的负担首先由双方当事人进行协商解决；如果双方协商不成，那么就由人民法院根据案件实际情况作出决定。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，就孩子抚养权问题产生纠纷，小朱向法院提起诉讼，预交了诉讼费用200元。案件审结后，小朱部分胜诉，双方对诉讼费用最终由谁承担存在争议。

案情分析:

1、预交费用方面，小朱提起抚养权起诉时按规定预交费用是合理的，因不涉及财产分割或财产总额未超20万，预交200元在50300元区间，符合离婚案件预交费用标准。
2、最终承担上，由于是部分胜诉情况，法院会综合双方责任比例、诉求实现程度等，来确定小朱和小李各自需负担的诉讼费用数额。