如果一方拒不履行支付抚养费的义务，会带来一系列严重后果，具体如下：
一、强制执行
当一方拒绝支付抚养费时，另一方有权向法院申请强制执行。
法院会采取多种措施来保障申请方的权益。
对于被执行人的收入，法院也可依法扣留、提取，像工资、奖金等都在执行范围内。
此外，被执行人名下的房产、车辆等财产，法院有权进行查封、扣押，必要时还会进行拍卖、变卖，以所得款项支付抚养费。
二、信用受损
被执行人可能会被纳入失信被执行人名单。
进入该名单后，其生活的诸多方面都会受到限制。
在出行方面，不能乘坐飞机、高铁一等座等；在信贷方面，银行等金融机构会对其信用评级降低，贷款申请可能会被拒绝；在消费方面，不能在星级以上宾馆、酒店等场所进行高消费。
三、司法拘留
若被执行人有能力执行却拒不执行，且情节严重，可能会被司法拘留，最长可达15日。
四、刑事责任
如果情节特别严重，构成拒不执行判决、裁定罪，那么就可能会被依法追究刑事责任，面临刑事处罚。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李拒不支付孩子抚养费。小朱申请强制执行，法院冻结小李存款、准备划拨时，小李称钱是准备还他人欠款有争议。后小李因信用受损出行受限有怨言，还对司法拘留威胁表示不服，认为自己没那么严重。

案情分析:

1、对于强制执行，法院有权依法对小李的财产采取冻结、划拨等措施，其称钱用于还欠款不能成为拒绝支付抚养费的合理理由。
2、信用受损是对拒不履行义务者的惩戒，限制其高消费等能促使其履行义务。
3、若小李有能力执行却拒不执行，司法拘留是合法的威慑手段。
4、若情节特别严重，追究其刑事责任符合法律规定，以维护法律权威和申请方权益。