当出现一方拥有抚养权却对孩子不管不顾的情况时，可参照以下方式妥善处理：
1.协商解决：
另一方首先可以尝试主动与对方进行友好、深入的沟通协商。
在沟通中，明确指出抚养孩子是应尽的义务，要求对方切实履行，关心和照顾孩子日常生活的方方面面。
例如，确保孩子有规律的饮食、舒适的居住环境，以及良好的教育条件等。
通过平和的交流，尝试让对方认识到自己的责任，重新担起照顾孩子的重任。
2.变更抚养权：
若经过多次沟通协商，对方仍然毫无改变的意愿，那么另一方可以向法院提起变更抚养权的诉讼。
根据相关法律规定，当一方不尽抚养义务，且这种不作为的行为对子女的身心健康确实造成了不利影响时，另一方提出变更子女抚养关系的诉求，法院通常会予以支持。
3.追究法律责任：
有抚养权的一方不管孩子，这种行为有可能构成遗弃罪。
遗弃罪具体是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务却拒绝履行扶养责任，并且情节恶劣的行为。
如果这种不管孩子的行为情节严重，相关部门可依法追究其刑事责任。
总之，保障孩子的合法权益至关重要，必须通过合法的途径来解决此类问题。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小朱获得孩子抚养权，但此后对孩子不管不顾。小李多次尝试与小朱协商，要求其履行抚养义务，小朱却不予理会。小李遂向法院提起变更抚养权诉讼，同时认为小朱行为可能构成遗弃罪。

案情分析:

1、在协商阶段，小朱作为拥有抚养权一方，理应履行抚养义务，其对小李沟通置若罔闻，未担起照顾孩子责任。
2、对于变更抚养权诉讼，小朱不尽抚养义务，对孩子身心健康造成不利影响，法院依据相关法律，大概率会支持小李变更抚养权的诉求。
3、若小朱行为情节恶劣，符合遗弃罪构成要件，相关部门应依法追究其刑事责任，以保障孩子合法权益。