关于放弃抚养权的时间限制及相关事宜，具体情况如下：
一、时间限制方面
放弃抚养权并没有严格意义上固定的时间限制。
这是因为在不同阶段，法律有着不同的规定和需要考量的因素。
二、不同阶段的具体规定
1.离婚时：
当夫妻双方决定离婚时，需要协商确定子女抚养权的归属问题。
如果其中一方自愿放弃抚养权，那么这一意愿必须明确地在离婚协议中体现出来。
若双方通过法院调解或者法院判决的方式离婚，也需在相应的调解文书或判决文书中清晰表明。
这样做是为了确保抚养权的归属有明确的法律依据，保障子女权益。
2.离婚后：
离婚后若想变更抚养权，比如一方打算放弃自己的抚养权转交给另一方，这需要符合法定的情形。
例如，抚养子女的一方患上了严重的疾病，以至于没有能力继续抚养子女；或者抚养方存在不尽抚养义务的情况，甚至有虐待子女的恶劣行为等。
一般来说，这种情况下可以先由双方进行协商解决。
若协商无法达成一致意见，那么就可以通过诉讼的方式，由法院根据有利于子女成长的原则来作出判决。
三、放弃抚养权后的义务
需要特别注意的是，放弃抚养权并不等同于放弃抚养义务。
即使一方不直接抚养子女，仍然需要支付抚养费等，切实履行抚养、教育以及保护子女的义务。

案情回顾:

小朱和小李离婚时，小李放弃抚养权但未在离婚协议中明确体现。离婚后，小李又想放弃抚养权，因小朱患病无力抚养孩子，双方协商不成产生争议，且小李认为放弃抚养权就无需再履行抚养义务。

案情分析:

1、离婚时小李放弃抚养权应在离婚协议中明确体现，这是确保抚养权归属有法律依据、保障子女权益的必要程序，小李未如此操作不符合规定。
2、离婚后变更抚养权需符合法定情形，小朱患病无力抚养符合条件，协商不成可诉讼，由法院按有利于子女成长原则判决。
3、小李放弃抚养权仍需履行抚养义务，支付抚养费等，不能因放弃抚养权就逃避责任。