当离婚后出现一方持续不支付抚养费的情况时，首先可以采取的措施是与对方进行友好协商，诚恳地要求其承担起支付抚养费的责任。
这是一种较为温和的解决方式，希望通过沟通让对方意识到自己的义务。
然而，如果协商无果，就需要向法院提起诉讼。
在起诉之前，一定要准备好充足的相关证据，像离婚判决书或调解书，这能明确双方的离婚及相关权益情况；还有子女的生活费用支出凭证，清晰地展示子女实际的生活开销，这些证据对于法院的判决至关重要。
法院会依据具体的案件情况来作出判决，确定对方需要支付的抚养费金额、支付方式以及支付期限等。
一旦判决生效，若对方仍然拒不履行，另一方就可以申请法院强制执行。
法院会采取一系列措施，比如划拨对方的银行存款，直接从其账户中扣除应支付的抚养费；或者扣留对方的收入，将其部分收入用于支付抚养费。
此外，不履行判决的一方还可能会被列入失信被执行人名单，这会对其信用产生严重影响，在生活的各个方面都会受到限制和惩戒。
总之，维护子女的合法权益必须通过合法的途径，不能采取非法或暴力的方式。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，孩子归小朱抚养，小李应每月支付抚养费。但小李持续不支付，小朱先友好协商，小李仍拒绝支付。小朱准备好离婚判决书和孩子生活费用支出凭证起诉小李，法院判决小李支付抚养费后，小李拒不履行。

案情分析:

1、小朱先协商的做法符合解决此类问题的常规流程。
2、小朱起诉时准备的证据很关键，能帮助法院确定支付情况。
3、法院判决生效后，小李拒不履行，小朱可申请强制执行，法院有多种执行措施，小李还可能被列入失信名单。