私生子，也就是非婚生子女，在法律层面享有与婚生子女同等的权利。
在继承相关事宜上，主要有以下几种具体情况：
一、继承生父或生母的遗产
非婚生子女对于生父或者生母的个人合法财产，是拥有合法继承权的。
在法定继承的顺序安排中，非婚生子女作为第一顺序继承人参与继承过程。
这意味着，在分配遗产时，不能因为私生子的身份而对其进行歧视性对待，他们在法律上的地位是完全平等的。
二、遗嘱继承
倘若生父或生母通过订立遗嘱的方式，明确地将自己的部分或者全部财产指定由私生子继承，那么私生子就可以依据这份合法有效的遗嘱，顺利继承相应的财产。
然而，如果遗嘱中并未指定私生子继承财产，这种情况下，就需要按照法定继承的相关规定来办理遗产继承事宜。
综上所述，私生子的继承权是受到法律明确保护的。
在实际涉及到继承问题时，私生子完全可以依法继承生父或生母的遗产，其合法权益不容侵犯。
无论是法定继承还是遗嘱继承，法律都为私生子的权益保障提供了坚实的依据。

案情回顾:

小朱是小李的私生子，小李去世后留下房产和存款等财产。小李未立遗嘱，其婚生子女小胡想独占遗产，认为小朱是私生子不应参与继承，双方就遗产分配产生争议。

案情分析:

1、在法定继承方面，小朱作为非婚生子女，与婚生子女享有同等权利，属于第一顺序继承人，对于小李的个人合法财产拥有合法继承权，在分配遗产时不应受歧视，应与小胡等婚生子女有平等继承份额。
2、由于小李未立遗嘱指定财产归属，所以应按照法定继承规定办理，小朱有权参与遗产分配，其合法权益受法律保护，不能因其私生子身份被剥夺继承权。