婚内私生孩子，也就是非婚生子女，在财产继承方面是有明确法律规定和保障的，是拥有财产继承权的。
以下为你详细介绍相关法律规定及具体分析：
1.法律地位平等：
《中华人民共和国民法典》明确指出，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利。
这意味着在法律的视角下，无论是在人身权利还是财产权利方面，非婚生子女和婚生子女都处于平等的地位。
任何组织或者个人都不能因为孩子是非婚生的，就对其进行危害或者歧视。
例如，在教育、医疗等各方面，都要给予非婚生子女公平的对待。
2.法定继承权利：
在法定继承的情形中，非婚生子女属于第一顺序继承人。
当被继承人没有留下有效的遗嘱时，遗产将按照法定继承的规则进行分配。
此时，非婚生子女与婚生子女、配偶、父母等一同享有平等的继承权。
也就是说，他们有权按照法律规定的份额，继承被继承人的遗产，
3.遗嘱继承：
如果被继承人通过遗嘱的方式，明确表示将自己的部分或者全部财产指定由非婚生子女继承，那么非婚生子女就可以依据这份有效的遗嘱，合法地获得相应的财产。
这体现了被继承人对自身财产处分的意愿，只要遗嘱符合法律规定，就应当得到尊重和执行。

案情回顾:

小朱与小丽婚内，小朱与小静生育非婚生子女小胡。小朱去世后留下房产和存款等财产，且未留遗嘱。此时，小胡主张继承财产，而小丽认为小胡是非婚生子女，不应有继承权，双方产生争议。

案情分析:

1、根据《中华人民共和国民法典》，非婚生子女享有与婚生子女同等权利，小胡在法律地位上与婚生子女平等，任何组织或个人不能歧视，在财产权利方面应公平对待。
2、在法定继承情形中，小胡作为非婚生子女属于第一顺序继承人，在小朱无有效遗嘱时，有权与小丽等一同按法律规定份额继承房产、存款等财产。
3、若小朱留有遗嘱指定小胡继承部分或全部财产，且遗嘱符合法律规定，那么小胡可依据遗嘱合法获得相应财产。