当申请执行人离世后，相关事宜可按以下方式妥善处理：
1.确定权利继受人：
申请执行人的权利依法可由其继承人继承。
确定继承人需遵循一定的法定程序，主要分为遗嘱继承和法定继承两种情况。
若申请执行人留有遗嘱，那么应严格按照遗嘱的指定来明确继承人。
例如，遗嘱中明确表明某套房产的相关执行权利由其长子继承，那么长子即为该部分权利的继受人。
若没有遗嘱，则按照法定继承顺序来确定，法定继承人通常包括配偶、子女、父母等。
2.变更申请执行人：
在继承人确定之后，需要向执行法院提出变更申请执行人的申请。
同时，要提交一系列相关证明材料，这些材料是法院审核的重要依据，缺一不可。
3.法院审查与裁定：
执行法院在收到申请及相关材料后，会进行细致的审查。
经审查，若申请及材料均符合法定条件，法院会依法裁定变更申请执行人为权利继受人。
此后，权利继受人便可以继续参与执行程序，行使申请执行人的权利，要求被执行人履行相应的义务。

案情回顾:

小朱作为申请执行人离世，未留遗嘱。其配偶小李、子女小胡和小丽就继承其执行案件权利产生争议，均想成为权利继受人变更为申请执行人，小静作为被执行人对谁能继续行使权利存疑。

案情分析:

1、因小朱无遗嘱，应按法定继承确定权利继受人。其配偶小李、子女小胡和小丽均为法定继承人，都有平等权利继承申请执行人在执行案件中的相应权利。
2、小李、小胡和小丽确定各自继承份额后，应向执行法院提出变更申请执行人的申请，并提交身份证明、亲属关系证明及继承相关法律文书等材料。
3、法院收到申请及材料后会审查，若符合法定条件，会裁定变更申请执行人为权利继受人，之后权利继受人可继续参与执行程序，要求小静履行义务。