遗嘱继承的执行过程通常包含以下几个关键步骤：
一、确认遗嘱效力
这是遗嘱继承执行的首要环节。
遗嘱要合法有效才能被执行，需同时满足法定形式和实质要件。
例如自书遗嘱，必须由遗嘱人亲自书写全部内容，不能由他人代写或打印后签字。
遗嘱人要在遗嘱结尾处签名，并清晰注明年、月、日，以确保遗嘱的真实性和时效性。
此外，遗嘱内容不能违反法律法规和公序良俗，否则可能被认定无效。
二、确定遗嘱执行人
遗嘱人可在遗嘱中明确指定执行人。
若未指定，继承人之间应友好协商确定合适人选；若协商不成，可由法院根据具体情况指定。
遗嘱执行人需具备完全民事行为能力和管理遗产的能力，能够公正、客观地执行遗嘱。
三、通知继承人
遗嘱执行人要及时通知所有法定继承人、受遗赠人。
通知方式可以是书面通知，也可以通过电话、邮件等方式，告知他们遗嘱的具体内容和执行的相关情况，保障继承人的知情权。
四、遗产清理与编制清单
对遗产进行全面细致的清理，包括房产、车辆、存款、股票等各类财产。
编制详细准确的遗产清单，注明遗产的名称、范围、数量、价值等信息，为后续的遗产分割提供依据。
五、遗产分割与交付
严格按照遗嘱规定，将遗产合理分配给相应的继承人或受遗赠人，并完成实际交付。
六、处理特殊情况
如遇继承人放弃继承、遗嘱部分无效等特殊情形，需依据法律规定进行妥善处理。

案情回顾:

小朱去世后留下自书遗嘱，指定小李为遗嘱执行人。但小静质疑遗嘱效力，称遗嘱日期模糊，且部分内容她认为违背公序良俗。同时，继承人之间对未指定执行人的部分遗产处置存在分歧，遗产清理时小胡对清单中房产价值有异议。

案情分析:

1、关于遗嘱效力，若日期模糊无法确定真实性和时效性，且内容违背公序良俗，该部分遗嘱可能无效。
2、对于遗嘱执行人，指定部分应按遗嘱执行，未指定部分继承人协商不成可由法院指定。
3、通知继承人环节应确保所有继承人都能得知遗嘱内容。
4、遗产清理要准确客观，对价值有异议可评估。
5、遗产分割需严格按有效遗嘱进行。
6、遇特殊情况按法律规定妥善处理。