依据我国《中华人民共和国刑法》第二百六十四条明文规定，盗窃罪之惩罚程度取决于盗窃数额大小及犯罪情节等诸多因素。若一名年龄达到六十周岁的人士实施盗窃行为，若其盗窃数额较大或存在其他严重情节，则可能面临三年以下有期徒刑、拘役或管制，同时还需承担罚金；若其盗窃数额极为庞大或者出现其他极其恶劣的情节，则可能被判处三年以上十年以下有期徒刑，并需缴纳罚金；而若其盗窃数额特别巨大或者存在其他特别严重的情节，则可能被判处十年以上有期徒刑甚至无期徒刑，同时还需缴纳罚金或没收全部财产。然而，根据我国《中华人民共和国刑法》第十七条之一的明确规定，凡年满七十五周岁的人士，若故意犯罪，可依法予以从轻或减轻处罚；若为过失犯罪，亦应从轻或减轻处罚。若这位六十岁的犯罪嫌疑人已经年满七十五周岁，那么在量刑过程中，法院可能会酌情考虑对其从轻或减轻处罚。若其犯罪行为属于过失行为，那么法院也应该对其从轻或减轻处罚。

《中华人民共和国刑法》第二百六十四条
盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。