根据我国相关法律规定，公安机关对犯罪嫌疑人实施刑事拘留的最长期限为37天。
37天之后，通常会出现以下两种情况：
若检察院予以批准逮捕，那么该犯罪嫌疑人将继续被羁押，待后续诸如侦查、审查起诉以及判决等一系列司法程序逐一完成；
反之，若检察院未予批准逮捕，公安机关则应在收到通知书之日起立即释放犯罪嫌疑人。
但在此情况下，若需要继续进行侦查工作并且犯罪嫌疑人符合取保候审或监视居住的条件，公安机关需依法为其办理相应手续。
值得我们关注的是，具体的处理方式往往受到诸多因素的影响，如案件的证据状况、犯罪行为的性质及情节等等。
在这一阶段，犯罪嫌疑人及其亲属均享有委托律师提供法律援助以维护自身合法权益的权利。