依据相关法律规定，倘若自然人因参与网络赌博活动并遭受刑事指控，且被予以拘留处罚的话，公安部门通常应于拘留后的合理期限内，向当地人民检察院递交提请批准逮捕的申请。
这个法定最长时限为3天，特殊情形下提请审核与批准的时效可以延长1至4天不等。
另外，对于那些涉嫌流窜作案、多次作案或有合伙作案之嫌的疑犯而言，其提交审查与批准逮捕的时段可延长至30天为止。
因此，检察院理应在接到公安部门提交的提请批准逮捕书面材料后的第七个工作日之内，做出批准逮捕或否决逮捕的决定。
倘若以最理想的速度计算，那么从犯罪者被实施刑事拘留的那一刻起，到最后将案子移交至检察机关处理，所需的最短时间可缩短至3至7天；
然而，若考虑到案件的复杂性以及侦查工作的实际进展等因素，最长的时间跨度可能会达到30至37天不等。
但以上仅为一般性的预估，最终的办案期限还得视具体案情来确定。