在涉嫌寻衅滋事而遭到刑事拘留的情况下，通常的处理流程如下所示：
首先，负责侦办此案的公安机构将会继续开展深入的调查工作并搜集相关的证据资料。
在此期间，犯罪嫌疑人均有权利委托律师为其提供全面的法律援助服务。
律师可以与犯罪嫌疑人进行会面交流，详细了解案件的具体情况，并向公安机关提交相应的法律建议和立场。
倘若公安机构认定已获取充足的证据以支持其指控，他们便会向上一级的检察院递交请求对该嫌疑人进行批准逮捕的申请文件。
由检察院负责审查案件资料，并在综合考虑所有因素后作出决定―是批准逮捕此人以便展开进一步的调查取证工作，还是不批准逮捕而可能调整为其他的强制性约束手段。
随着案件调查完成，公安机构会将所有相关的档案材料完整地移交至检察院，以便其进行审查起诉的环节。
检察院将对案件是否应该向法院提起诉讼的问题做出最终决定。
若是决定提起诉讼，则该案件将正式进入到法院审判阶段。
在整个处理过程中，犯罪嫌疑人及其家属都需要积极主动地配合司法机关的工作，同时也要全力维护自己的合法权益不受侵犯。