当犯罪嫌疑人或被告人被羁押于看守所并希望获得法律援助时，他们可以按照如下流程进行申请：
首先，他们可以直接向看守所内的管教民警提出法律援助的请求。
该管教民警将会立即将此申请提交给法律援助机构处理。
其次，如果犯罪嫌疑人或被告人属于未成年人身份，或者他们面临着可能被判处无期徒刑或死刑的严重罪行，并且在此之前未曾委托过任何辩护人的话，公诉机关以及人民检察院都有义务通知法律援助机构派遣律师为其提供辩护服务。
除此之外，在提交法律援助申请的同时，申请人还需提供相关材料来证明自己处于经济困境之中，如贫困证明、收入证明等等。
法律援助机构将会对这些申请进行严格的审查，对于符合条件的申请人，他们将会指派律师提供法律援助。
值得注意的是，在申请过程中，申请人必须如实提供所有必要的信息，以便保证法律援助工作能够顺利地开展下去。